背景

OpenGL的渲染视窗默认是不提供任何透视变形的，也就是说如果我们画一块立方体上去，那么它渲染出来的楞在屏幕上是相互平行的（下图左边），没有透视关系。但我们往往想要的是下面这张图右面的效果：

思路

为了解决这个问题，我们常用的手法是：在视窗中把所有的顶点“变形”，让它们看上去有透视的感觉即可。也就是，我们所有的工作其实本质上还是在正交视图里做，只不过是把所有的几何体都变形了，让它们从特定角度上来看是存在透视关系的。

用上面的图来描述的话，就是把左面灰色区域中所有的点，都通过一个3维空间Affine仿射变换矩阵(4x4)映射到上图右面的方盒里。再由OpenGL负责将仿射空间的几何体还原到欧式空间中。

形象的例子

根据学习这部分知识的时候，曾经听过了来自UC Davis Academics的一位老爷子的公开课，这课里面就有一个非常形象的例子

左上角就是我们放置的立方体，而经过透视变换矩阵及还原欧式空间后，立方体就变形成老爷子指的地方了（视频连接）。

这里注意： 经过我后来的思考发现，其实这种变换存在一些“线渲染”的问题，因为我们映射的只是vertex信息，而连接点与点的折线则是在Fragment shading时期完成的。 但是仔细想想不难发现，若现实中一根直线段，它横跨我们视野的时候，根据透视规律，是弯着的。为了优化“线”的表述，不难猜测工业级CG软件需要独立构造Affine空间下的直线表述和图元。若是更加复杂的贝塞尔曲线则需要更高阶多项式的表述方式。

OpenGL实现

OpenGL Math好在不需要我们关注这个神奇的4x4的矩阵到底怎么构造的，它只要求我们提供一些参数就能构造一块透视矩阵：

glm::mat4 proj = glm::perspective(glm::radians(45.0f), (float)width/(float)height, 0.1f, 100.0f);

• 第一个参数：FOV，一个弧度值，详情见图；
• 第二个参数：摄像机视窗横纵比；
• 第三个参数：近平面距离；
• 第四个参数：远平面距离。

具体实现

在讨论具体实现前需要注意：

• 我们在进行透视变换前，要求所有的点都已经转换成摄像机空间下的坐标了。
• 所有的矩阵都是列空间构造。
• 矩阵不能含有输入位置的任何信息，所以我们通过把z转移到w来间接实现近大远小。

公式

M_{perspective} := \begin{pmatrix}
\frac{n}{r} & 0 & 0 & 0\\ 
0 & \frac{n}{t} & 0 &0 \\ 
0 & 0 & -\frac{f+n}{f-n} & -\frac{2fn}{f-n} \\ 
0 & 0 & -1 & 0
\end{pmatrix}

此时的参数:

• 这里，我们仅讨论视窗对称的情况，不讨论VR情形。
• \lambda为任意不为0的实数。OpenGL为我们算好的的矩阵一般以\lambda=1为基准。

概览图

我们这章节完成了投射矩阵的学习。它在下列计算流水线的最后一步（M_{projection}:=M_{perspective}）

\mathbf{v_{today}}=M_{projection}\cdot M_{camera}^{-1} \cdot M_{local} \cdot \mathbf{v_{local}}

后续工作

最后\mathbf{v_{today}}要被整体除以w坐标，得到的x,y就是屏幕空间的信息，z则被用来做深度测试。

参考

OpenGL参考文章计算技术细节文章