对于傅立叶系数的质疑

对于任意闭区间 [-\pi,\pi] 上的周期函数 f(x) ，我们难免心生疑问：傅立叶级数提供的系数取法，也就是：

S_n(x) := \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n}(a_k\cos{kx}+b_k\sin{kx}) \\ a_k:= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}{f(x)\cos{kx}}dx,\quad k = 0,1,2,\cdots \\ b_k:= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}{f(x)\sin{kx}}dx,\quad k = 1,2,\cdots

中的 a_k,b_k 这么取到底合不合适？
会不会有其它的a_k,b_k的取法能比这个取法能更“精确”地描述 f(x) ？

寻找描述精确度的手段

为了解决这个问题，我们先思考一下怎么定义这个“精确”。
在数学分析中，比较自然的思考方式就是， S_n 更快的“趋近” f(x) ，也即：
对于同一个 n ，我们通过不停的改变 a_k,b_k，使的|S_n(x)-f(x)| 做出来的函数感觉上越靠近0越好，找到那个最恰当的一组a_k,b_k。
在本章，我们通过引入Bessel（贝塞尔）不等式，来轻松地证明傅立叶的这个系数取法确实是最恰当的、最完美的。

构筑精确度描述函数

若f(x) 是闭区间 [-\pi,\pi] 上的平方可积的周期为 2\pi 的函数。
设任意数列 \left \{c_k \right \}, \left \{d_k \right \} ，由这两组数列构成的傅立叶级数的有限项和数列：

B_n(x) := \frac{c_0}{2} + \sum_{k=1}^{n}(c_k\cos{kx}+d_k\sin{kx})

并设用来测量是否“精确”的函数

J(x):=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \left | f(x)-B_n(x) \right |^2 dx

这时：

定理2：Bessel不等式定理

其(1)

J(x) = \frac{1}{\pi}(f\cdot f) - \frac{a_0^2}{2}-\sum_{k=1}^n(a_0^2+b_0^2) + \frac{(a_0-c_0)^2}{2}+\sum_{k=1}^n \left \{ (a_k-c_k)^2 + (b_k-d_k)^2 \right \}

其(2)

\inf_{c_k,d_k} J(x) \geq \frac{1}{\pi}(f\cdot f)- \frac{a_0^2}{2}-\sum_{k=1}^n(a_0^2+b_0^2)

并且有

\frac{1}{\pi}(f\cdot f)\geq \frac{a_0^2}{2}+\sum_{k=1}^n(a_0^2+b_0^2)

证明(1)

其实（1）是计算问题。
由J(x) 函数的定义直接展开推导即可：

J(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \left | f(x)-B_n(x) \right |^2 dx \\ =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \left | f(x) \right |^2 - 2f(x)B_n(x)+ \left | B_n(x) \right |^2 dx \\ = \frac{1}{\pi}(f\cdot f) - \frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)B_n(x) dx + \frac{1}{\pi}(B_n \cdot B_n)

其中 “\cdot “定义为

f\cdot g := \int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)dx

该内积也是常用的“函数内积”。
继续化简（第二项）：

\frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)B_n(x) dx \\ = \frac{1}{\pi} \left\{ \frac{c_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx+\sum_{k=1}^{n} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)(c_k\cos{kx}+d_k\sin{kx})dx \right\} \\ = \frac{a_0 c_0}{2} + \sum_{k=1}^{n}(a_kc_k+b_kd_k)

通过类似的计算，可以把第三项化为：

\frac{1}{\pi}(B_n(x)\cdot B_n(x))=\frac{c_0^2}{2}+\sum_{k=1}^n(c_k^2+d_k^2)

综上，（1）得以证明。

证明(2)

关于（2）的证明：把（1）的结果中的 c_k,d_k 设为 c_k:=a_k,d_k:=b_k 的话，右面会有一半的项变成0，并且此时最小，有：

\inf_{c_k,d_k}J(x)\geq\frac{1}{\pi}(f\cdot f) -\frac{a_0^2}{2}-\sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)

根据 J(x) 的定义式可知，不论里面的变量怎么取，这个函数恒大于等于0。所以上式不等号右边也恒大于等于0，并且有：

\frac{1}{\pi}(f\cdot f) \geq \frac{a_0^2}{2}+\sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)

\mathrm{Q.E.D}

结论

综上可得：如果想让傅立叶级数的和数列更“精确”地描述原函数，傅立叶提供的系数取法是最优的（即 c_k:=a_k,d_k:=b_k ）。