定义

对于一般的度量空间(X,d)，其完备化是指：

存在由(X,d)构造的完备度量空间(X^*,d^*)和等距映射h:(X,d)\rightarrow (X^*,d^*),使h(X)在(X^*,d^*)中稠密。二元组((X^*,d^*),h)称作(X,d)的完备化。

注意
这里用((X^*,d^*),h)表示的意图在于强调X可由映射h引入X^*,即h(X)是X^*的子集。完备化完成后，通常我们把h(X)和X看做同一集合。例如\mathbb{Q}中的元素和\mathbb{R}中的有理数我们通常看成同一集合。

构造法

这里我们给出(X^*,d^*)的一般构造手法。
(X,d)的柯西列全体集合设为E，对于E中两个元素\{x_n\},\{y_n\},定义如下满足关系：

\{x_n\}\sim\{y_n\} :\Leftrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}{d(x_n,y_n)=0}

设X^*:=E/\sim,对于X^*中的两元素[\{x_n\}],[\{y_n\}]其上度量如下定义：

d^*([\{x_n\}],[\{y_n\}]):=\lim_{n\rightarrow\infty}{d(x_n,y_n)}

h定义为：

x\mapsto [\{x_n\}],\quad\forall n\in\mathbb{N},x_n:=x

至此，就完成了((X^*,d^*),h)的构造。