如何选择结婚对象?
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概率论角度解释
我们今天从概率论角度建立一个简单的模型模拟一下这个问题。
模型
- 先恋爱,再决定结婚与否
- 假设一生中A君会恋爱N次
- A君遇到的所有恋爱同伴含有魅力值
K
,K
为1~N
的整数,K越大魅力越大。 - A君分手过的恋爱同伴不能再次恋爱
- A君的恋爱同伴没有结婚或分手的决定权
- A君与魅力值最大的恋爱同伴结婚算作一次成功的人生
A君的策略
A君选择一个数a,(0\leq a < N)
。
- A君在前
a
个人中进行“游玩模式”,只谈恋爱,不结婚——即一定会与前a个人分手。 - A君在第
a+1
个人开始进入“认真模式”。 - 如果当前恋爱同伴的
K
比前面的人都大,则与之结婚,否则分手。 - A君如果与前
N-1
个人都分手了,则一定会与第N
个人结婚。
成功率计算
设魅力最大的选手为S君,而游玩模式中魅力最大的选手为B君。
(1) S君正好是第a+1位恋爱同伴的概率:
P_{a+1}=\frac{1}{N}
(2) S君正好在第a+2位、且a+1位同伴的魅力值K比B君小的概率(为了保证A君不会与a+1位同伴结婚)
P_{a+2}=\frac{1}{N}\cdot \frac{a}{a+1}
(3) S君正好在第a+3位、且a+1至a+2位同伴的魅力值K比B君小的概率(为了保证A君不会与a+1至a+2位同伴结婚)
P_{a+3}=\frac{1}{N}\cdot \frac{a}{a+2}
(4) S君正好在第a+4位、且a+1至a+3位同伴的魅力值K比B君小的概率(为了保证A君不会与a+1至a+3位同伴结婚)
P_{a+4}=\frac{1}{N}\cdot \frac{a}{a+3}
(k) S君正好在第i(a+1\leq i \leq N)
位、且a+1至i-1位同伴的魅力值K比B君小的概率(为了保证A君不会与a+1至i-1位同伴结婚)
P_{i}=\frac{1}{N}\cdot \frac{a}{i-1}
因为这些事件互斥,可以直接加和
P = \sum_{i=a+1}^{N}{P_i} = \sum_{i=a+1}^{N}{ \frac{1}{N}\cdot \frac{a}{i-1} } = \frac{a}{N} \sum_{i=a}^{N-1}{ \frac{1}{i} }
\\
= \frac{a}{N} \sum_{i=a}^{N-1}{( \frac{1}{N} \cdot \frac{1}{\frac{i}{N}} )}
设A君选的a占比p=\frac{a}{N},\quad 0 \leq p < 1
N \rightarrow\infty 时 \\
根据定积分的定义\\
上式= p\sum_{i=a}^{N-1}{( \frac{1}{N} \cdot \frac{1}{\frac{i}{N}} )} \rightarrow p \int_{p}^1{\frac{1}{t}dt} =p(\log1-\log p)=-p\log p
所以
P(p)=-p\log p
根据求导
\frac{dP(p)}{dp}=-\log p -1 = 0
可得
p=\frac{1}{e} \approx 36.8\% \\
P_{\max} = \frac{1}{e} \approx 36.8\%
结论
在N将要相遇的恋爱同伴中,A君需要在前36.8%
的同伴中进行“游玩模式”的成功率是最高的。
即使这样,成功率也仅有
36.8%
不过现实并不是失去过的同伴就不会再回来w
当然你也可以N个同伴并列进行,这样的成功率是100%