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辉夜

概率论角度解释

我们今天从概率论角度建立一个简单的模型模拟一下这个问题。

模型

  • 先恋爱,再决定结婚与否
  • 假设一生中A君会恋爱N次
  • A君遇到的所有恋爱同伴含有魅力值KK1~N的整数,K越大魅力越大。
  • A君分手过的恋爱同伴不能再次恋爱
  • A君的恋爱同伴没有结婚或分手的决定权
  • A君与魅力值最大的恋爱同伴结婚算作一次成功的人生

A君的策略

A君选择一个数a,(0\leq a < N)

  1. A君在前a个人中进行“游玩模式”,只谈恋爱,不结婚——即一定会与前a个人分手。
  2. A君在第a+1个人开始进入“认真模式”。
  3. 如果当前恋爱同伴的K比前面的人都大,则与之结婚,否则分手。
  4. A君如果与前N-1个人都分手了,则一定会与第N个人结婚。

成功率计算

设魅力最大的选手为S君,而游玩模式中魅力最大的选手为B君。
(1) S君正好是第a+1位恋爱同伴的概率:

P_{a+1}=\frac{1}{N}

(2) S君正好在第a+2位、且a+1位同伴的魅力值K比B君小的概率(为了保证A君不会与a+1位同伴结婚)

P_{a+2}=\frac{1}{N}\cdot \frac{a}{a+1}

(3) S君正好在第a+3位、且a+1至a+2位同伴的魅力值K比B君小的概率(为了保证A君不会与a+1至a+2位同伴结婚)

P_{a+3}=\frac{1}{N}\cdot \frac{a}{a+2}

(4) S君正好在第a+4位、且a+1至a+3位同伴的魅力值K比B君小的概率(为了保证A君不会与a+1至a+3位同伴结婚)

P_{a+4}=\frac{1}{N}\cdot \frac{a}{a+3}

(k) S君正好在第i(a+1\leq i \leq N)位、且a+1至i-1位同伴的魅力值K比B君小的概率(为了保证A君不会与a+1至i-1位同伴结婚)

P_{i}=\frac{1}{N}\cdot \frac{a}{i-1}

因为这些事件互斥,可以直接加和


P = \sum_{i=a+1}^{N}{P_i} = \sum_{i=a+1}^{N}{ \frac{1}{N}\cdot \frac{a}{i-1} } =  \frac{a}{N} \sum_{i=a}^{N-1}{ \frac{1}{i} }
\\

= \frac{a}{N} \sum_{i=a}^{N-1}{( \frac{1}{N} \cdot \frac{1}{\frac{i}{N}} )} 

设A君选的a占比p=\frac{a}{N},\quad 0 \leq p < 1

N \rightarrow\infty 时 \\
根据定积分的定义\\
上式= p\sum_{i=a}^{N-1}{( \frac{1}{N} \cdot \frac{1}{\frac{i}{N}} )} \rightarrow p \int_{p}^1{\frac{1}{t}dt} =p(\log1-\log p)=-p\log p

所以

P(p)=-p\log p

根据求导

\frac{dP(p)}{dp}=-\log p -1 = 0

可得

p=\frac{1}{e} \approx 36.8\% \\
P_{\max} = \frac{1}{e} \approx 36.8\%

结论

在N将要相遇的恋爱同伴中,A君需要在前36.8%的同伴中进行“游玩模式”的成功率是最高的。

即使这样,成功率也仅有36.8%
不过现实并不是失去过的同伴就不会再回来w
当然你也可以N个同伴并列进行,这样的成功率是100%

       

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