【不太一样的离散导数】五采样点离散求导

           

阅读时请注意：本篇的内容来自于自己做的一套近似模拟，市面上可能已经有类似模拟。也有可能跟市面上的不同，这里的导数结果不是通用结果。

对于给定五个等距采样点s_i, (i=-2,-1,0,1,2)。可做关于这五个点的离散导数（本质只有四个点，中间的点将被忽略）

先给这五个点分配五个顶点坐标：(i,s_i), (i = -2,-1,0,1,2)

这里用四次多项式函数f_q近似描绘这五个点

f_q(x) = \sum_{i=0}^{4}{a_ix^i}

先认为采样间距为1，之后来更改采样间距。 现在利用给定五个坐标点来求所有的系数a_k, (k=0,1,2,3,4)

M_q:=  \begin{pmatrix}
16 & -8 & 4 & -2 & 1\\ 
1 & -1 & 1 & -1 & 1\\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 
1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 
16 & 8 & 4 & 2 & 1
\end{pmatrix},\vec{x}:=\begin{pmatrix}
a_4\\ 
a_3\\ 
a_2\\ 
a_1\\ 
a_0
\end{pmatrix}, \vec{y}:=\begin{pmatrix}
s_{-2}\\ 
s_{-1}\\ 
s_{0}\\ 
s_{1}\\ 
s_{2}
\end{pmatrix}

M_q\vec{x}=\vec{y}

\vec{x}=M_q^{-1}\vec{y}

M_q^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{24} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{24}\\ 
-\frac{1}{12} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{6} & \frac{1}{12}\\ 
-\frac{1}{24} & \frac{2}{3} & -\frac{5}{4} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{24}\\ 
\frac{1}{12} & -\frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{12}\\ 
0 & 0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}

这里我们知道f'_{q}(0)=a_1所以我们只要M_q^{-1}的倒数第二行向量与\vec{y}做内积即可。

结论

D[s_i]:=\frac{1}{12}s_{-2}+\frac{-2}{3}s_{-1}+\frac{2}{3}s_1+\frac{-1}{12}s_2

采样间距

现在我们把像素间距从1改到\delta >0其对应插值函数设为g_q(x)很明显：

g_q(x)=f_q(\frac{x}{\delta})

所以其导数为：

g'_q(0)=(\frac{df_q(u)}{du}\cdot \frac{du}{dx}) |_{x:=0} \quad (u:=\frac{x}{\delta})

D_{\delta}[s_i]:=\frac{D[s_i]}{\delta}=\frac{s_{-2}-8s_{-1}+8s_1-s_2}{12\delta}