【东大数学系研究生入学选拔真题解答】东京大学 数理科学研究科 H31A 第二题 TDU分解 题解
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原创:中梓星音
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题目大意:
对矩阵A = \begin{pmatrix} 2 & 3 &0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 5 \end{pmatrix}
进行A=TDU
分解,要求T为正交矩阵,D为所有对角元素为正的对角阵,U为单位上三角矩阵。
考察:
回想大学教科书和课上一般没有专门的练习题在做TDU分解,所以猜测TDU分解是由几个学过的矩阵分解组合而成。本题考验考生对矩阵分解的熟练度、组合能力和对矩阵的直觉。
首先根据“T是正交矩阵”的条件可以想到A可以三角化为 A=TB 的形式,B为上三角矩阵,但B不是单位上三角矩阵,所以还需要对B进行额外的分解。
这里容易想到可对B进行LU分解,因为这里的B已经是三角阵了,所以分解出来的L必然是对角阵(可做成D)且L保持B的对角元素不变,并且根据LU分解的性质,U完美符合单位上三角阵的条件,可做成本题的U。
想到这里,我们还差最后一块拼图,如何保证D的所有的对角元素为正?——其实在正交化的过程中,只要不改变正交向量的方向(乘以-1)就能做到所有B的对角元素为正,从而保证L(即D)的对角元素为正。
解:
对A的各个列向量进行Gram-Schmidt正交化,可直接确定一组正交基:
\{ \mathbf{v_1} = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{v_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \mathbf{v_3} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \}
设:T :=(\mathbf{v_1 \quad v_2 \quad v_3})
,则
A=TB,\quad B=\begin{pmatrix} \sqrt{6} & \sqrt{6} &\sqrt{6} \\ 0 & \sqrt{3} & -2\sqrt{3} \\ 0 &0 & 2\sqrt{2} \end{pmatrix}
接下来对B进行LU分解,可得到:
BR_1R_2:=B\begin{pmatrix} 1 & -1 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 &2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{6} &0 &0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sqrt{2} \end{pmatrix} =:D \\ D(R_1R_2)^{-1}=B \\ TD(R_1R_2)^{-1}=TB=A ,\quad U:=(R_1R_2)^{-1}=\begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
综上所述,可求得一组:
A=TDU, \newline
T=\begin{pmatrix} 2/\sqrt{6} & 1/\sqrt{3} & 0 \\ 1/\sqrt{6} & -1/\sqrt{3} & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{6} & -1/\sqrt{3} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix},\newline
D=\begin{pmatrix} \sqrt{6} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sqrt{2} \end{pmatrix},\newline
U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
补充:
不难证明,A=TDU
可分的充要条件是:A为可逆矩阵。
充分性:
根据上述题解,显然。
必要性:
因为D
为对角元素大于0的对角阵且U
为单位上三角阵,DU
必为上三角阵且对角元素>0,这时|DU|>0
,可逆。又知道|T|=1 or -1
,所以|TDU| = |T||DU|\neq 0
,TDU
可逆,A
也可逆。
证毕