本文旨在把Cauchy-Schwarz的命题和证明方法论一般化。

Cauchy-Schwarz

希尔伯特空间(F, \mathrm{dot}_{F},V,\mathrm{dot}_{V})中的任意两点x,y满足下列不等式

\mathrm{dot}_F(\mathrm{dot}_V(x,y),\mathrm{dot}_V(x,y))
\leq
\mathrm{dot}_V(x,x)\mathrm{dot}_V(y,y)

其中\mathrm{dot}_{F}: F^2\rightarrow F, \mathrm{dot}_{V}: V^2\rightarrow F

Proof

设t\in F,根据内积空间的非负性和单边线性和配完全平方的技巧

\mathrm{dot}_V( x-ty, x-ty) \geq 0 \\
\left|
t||x||_V
+\frac{\overline{\mathrm{dot}_V(x,y)}}{||x||_V}
\right|_F^2
-
\frac{\mathrm{dot}_F(\mathrm{dot}_V(x,y),\mathrm{dot}_V(x,y))}
{\mathrm{dot}_V(x,x)}
+\mathrm{dot}_V(y,y)\geq 0

对所有的t都成立。所以作为F上关于t的二次函数来讲顶点纵坐标非负，即

-
\frac{\mathrm{dot}_F(\mathrm{dot}_V(x,y),\mathrm{dot}_V(x,y))}
{\mathrm{dot}_V(x,x)}
+\mathrm{dot}_V(y,y)\geq 0 \\
\mathrm{dot}_F(\mathrm{dot}_V(x,y),\mathrm{dot}_V(x,y))
\leq
\mathrm{dot}_V(x,x)\mathrm{dot}_V(y,y)