前言

邻域感觉是个大坑，每升一次学年就要重新认识一遍。以前觉得就不过是个平面上的圆的集合，之后学着学着发现:诶？好像换换距离空间可以有不同形状的邻域蛮有意思的。但是现在，终于感觉自己看到了邻域的庐山真面目。

邻域的定义其实并没有狭隘到一定要有距离空间的定义（虽然我们绝大多数时候只能用距离来构造它）

邻域的定义

对于集合X上的各点x，X上非空部分集合族可以由\mathcal{U}(x)来表示，如果\mathcal{U}(x)满足

(N1)\forall U\in\mathcal{U}(x), x\in U \\
(N2) U_1\in\mathcal{U}(x),U_2\in\mathcal{U}(x) \Rightarrow \exists U_3\in\mathcal{U}(x)\quad s.t. \quad U_3 \subset  U_1 \cap U_2 \\
(N3)U\in\mathcal{U}(x),y\in U \Rightarrow \exists V\in\mathcal{U}(y) \quad s.t. \quad V \subset U

则把\mathcal{U}(x)叫做关于x的邻域系。

任意U\in\mathcal{U}(x)都可以叫做X上的x点邻域。

奇葩的例子

简单的例子我们就不说了。比较反直觉的是：\mathbb{R}上的(0,2)\cup (4,6)其实既属于\mathcal{U}(1)，又属于\mathcal{U}(5)，如果按照距离空间去理解就觉得很变扭，因为我们之前学的距离空间下的邻域大都只有“一坨”。有兴趣的话可以通过上面三个定义来验证。

邻域生成拓扑空间

其实正是因为我们允许“好几坨”开集混在一块算作邻域，才能让它生成一个拓扑空间来满足拓扑第三条公理：

X的部分集合族任意个（不要求可算与否，此处一般用填字集合表述）元素之间的并集运算在这个族上闭合。

如果你思考不到上面那种奇葩例子的话，这一条明显就不满足了。