【笔记】四元数旋转的一些要点

           

首先十分感谢3B1B的科普视频让我终于搞懂了四元旋转的原理。本篇文章只是对该教程的拙劣总结，若有处漏还请见谅。

定义

传统定义

一般，四元数由以下形式定义

q=a_1+a_2 \bm i + a_3 \bm j + a_4 \bm k \\
\bm i^2=\bm j^2=\bm k^2=\bm{ijk}=-1\\
\bm{ij}=\bm{jk}=\bm{ki}=-\bm{ji}=-\bm{kj}=-\bm{ik}

极形式

其实用类似复数的极形式，单位四元数(||q||=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2}=1)也可以用下面形式唯一确定：

q=\cos\theta + \sin\theta(v_1 \bm{i} + v_2 \bm{j} + v_3 \bm{k})=\cos\theta + \sin\theta \bm v\\
\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}=1

使用这种表示形式四元旋转的表述将更加直观。

三维坐标与四元数的对应关系

\bm p = (x,y,z)\leftrightarrow (0 + x \bm i + y \bm j + z \bm k)

关键性质

在右手坐标系下，
对于一个单位四元数（旋转子）q=\cos{\theta} + \sin{\theta} \bm v，
和一个代表三维坐标的四元数（坐标点）p=(0 + x \bm i + y \bm j + z \bm k)，

乘法几何意义

注意，四元数乘法不满足交换律

qp代表把p沿\bm v按右手进行偏角为\theta的四维旋转

pq代表把p沿\bm v按左手进行偏角为\theta的四维旋转

其中，四维旋转在三维的投影需要通过视频理解 。
其变换可以分解为两种独立变换的合成：

1. 整个三维空间的点将绕着\bm v做“右手螺旋旋转”。
2. 整个三维空间的点将绕着\bm v的方向做“穿环旋转”。（自造词，是指：运动轨迹为圆、圆所在的平面通过\bm v的一种旋转）

特别地，在旋转偏角为\pi/2的情况下、单位球面上的点将展开为一个平面

也就是说：

qp：进行偏角为\theta的右手螺旋旋转和偏角为\theta的穿环旋转

pq：进行偏角为-\theta的右手螺旋旋转和偏角为\theta的穿环旋转

注意，这里只有右手螺旋旋转的\theta会变

旋转子的逆

q^{-1}=\cos(-\theta) + \sin(-\theta) \bm v

保留螺旋、消除穿环

若想把p沿\bm v仅进行偏角为\theta的右手螺旋旋转

其转换为下式：

p\mapsto qpq^{-1}

其中q=\cos{\frac{\theta}{2}} + \sin{\frac{\theta}{2}} \bm v，
p=(0 + x \bm i + y \bm j + z \bm k)，

分两步理解：

1. qp负责把p沿\bm v进行偏角为\frac{\theta}{2}的右手螺旋旋转和偏角为\frac{\theta}{2}的穿环旋转
2. (qp)q^{-1}负责把上一步结果沿\bm v进行偏角为-(-\frac{\theta}{2})的右手螺旋旋转和偏角为-\frac{\theta}{2}的穿环旋转

总结起来是：

1. 右手螺旋\frac{\theta}{2}
2. 穿环\frac{\theta}{2}
3. 右手螺旋-(-\frac{\theta}{2})=\frac{\theta}{2}
4. 穿环-\frac{\theta}{2}

因为这两种变换是可以交换顺序的、所以穿环就抵消了，只保留了两个右手螺旋\frac{\theta}{2}，最终就实现了右手螺旋\theta

归纳演绎、思维发散

所以是不是也能造一个只进行穿环不进行螺旋的旋转？
比如p\mapsto qpq就比较像。

嘛…毕竟你看:

q(qpq)q^{-1}=q^2p \\
q(qpq^{-1})q=q^2p \\
q^{-1}(qpq)q=pq^2 \\
q(q^{-1}pq)q=pq^2

正好合并还原回左乘、右乘的几何意义耶。(留作读者验证)