定理

对于任意正整数n元整系数对称式，总能用基本对称式的加减乘和常数倍的运算组合来表示。

对称式: 字母不论怎么交换，其值不变的式子。

例

n=2 时
二元基本对称式有： s_1 = x_1 + x_2,\quad s_2 = x_1x_2
随意给出一二元对称式： f(x_1,x_2)=x_1^3+x_2^3 ，经计算，有： f(x_1,x_2)=x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)=s_1(s_1^2-3s_2)=s_1^3-3s_1s_2

思路

重新制作一套定义了大小关系的符号集合，并用集合上的元素作为归纳自变量，用字典序数学归纳法来证明。
任取一正整数n，
这里定义单项式的几种测量工具：
对于任意n元单项式 M = x_1^{a_1} x_2^{a_2} \cdots x_n^{a_n} \in \mathbb{M}_n, a_{\forall i}\geq0

d(M) := a_1 + a_2 + \cdots + a_n 
\partial (M) := (a_0, a_1, a_2, \cdots , a_n) \in \mathbb{Z}^{n+1} 

其中

a_0 := d(M) 

现在，我们要定义单项式之间的大小关系（字典序大小关系）

\partial (x_1^{a_1} x_2^{a_2} \cdots x_n^{a_n}) \succ \partial(x_1^{b_1} x_2^{b_2} \cdots x_n^{b_n}) \\ :\Leftrightarrow \exists i \geq 0 : a_0 = b_0, \cdots , a_{i-1} = b_{i-1},  but\quad a_i > b_i 

证明

对于给定任意n元对称式 f(x_1,x_2,\cdots ,x_n),设

M(f) := \max \left \{ \partial (g) | g是f的一个单项式 \right \}

以下使用字典序数学归纳法：
【1】对于 \partial (M(f)) = (0,0,\cdots,0) ，这时 f 为常数，自明。
【2】对于一确定f ，且\partial (M(f)) \succ (0,0,\cdots,0) 。假设所有具有\partial (M(f')) \prec \partial (M(f)) 性质的 f' 都满足定理，下面来推 f 也满足定理：
首先要注意下面不等式恒成立：

\partial (M(f)) = (a_0,a_1,\cdots,a_n) \succeq (a_0,a_{\sigma(1)},a_{\sigma(2)},\cdots ,a_{\sigma(n)}) 

其中\sigma 为任意\sigma : \left \{ 1,2,\cdots,n \right \} \rightarrow \left \{ 1,2,\cdots,n \right \} 的双射。（也叫置换）
也即：

a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n 

另一方面，我们需要用纯基础对称式构造另一个多项式g ，使得

\partial (M(g)) = \partial (M(f)) 

稍加思考，可以想出g 可以如下构造：

g:=s_n^{a_n} s_{n-1}^{a_{n-1} - a_n} \cdots s_1^{a_1 - a_2} 

（其中 s_i 表示 n 元 i 次基本对称式）
并且这时

M(g) = x_1^{a_1} x_2^{a_2} \cdots x_n^{a_n} = M(f) 

最后，我们取 常数c 为 f 中 M(f) 的系数。则有

\partial (M(f)) \succ \partial(M(f-cg)) 

根据归纳法假设，(f-cg) 满足定理。
那么显然，

f=(f-cg)+cg 

也满足定理。\textrm{Q.E.D}