艺术不是享乐、安慰或娱乐；艺术是一桩伟大的事业。艺术是人类生活中把人们的理性意识转化为感情的一种工具。——列夫·托尔斯泰

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用到的工具

三次贝塞尔曲线构造函数

$f(t)=\alpha_1(1-t)^3+3\alpha_2(1-t)^2t+3\alpha_3(1-t)t^2+\alpha_4t^3$

$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\in \mathbb{C}
\\
t\in[0,1]$

拟合函数

$F(t)=...+c_{-2}e^{-2it}+c_{-1}e^{-1it}+c_{0}e^{0it}+c_{1}e^{1it}+c_{2}e^{2it}+... 
c_m=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(t)e^{-mit}dt .$

我们的目标

其中计算出来的数列将$c_m$作为最终的输出数据.我们的工作是求 $c_m$ .
说明：
根据2，我们发现要拟合的目标函数仅有t一个自变量.我们又知道：

$a_{m,n,\alpha,\beta}:=\frac{1}{2\pi}\int_{\alpha}^{\beta}(\frac{t-\alpha}{\beta-\alpha})^ne^{-mit}dt,n\in\left\{ 0,1,2,... \right\}$

的解析值可简单求出.
（其中 ($\frac{t-\alpha}{\beta-\alpha}$) 是把t的范围从$[α,β]$映射到$[0,1]$；$α,β$分别是当前贝塞尔构造函数定义域的下确界和上确界）
因此，仅需要确定数列$c_m$ 和数列 $a_{m,n,\alpha,\beta}$ 之间的关系即可.这可以通过对2关于t进行降幂排序、并将结果的t的某次方替换成$a_{m,n,\alpha,\beta}$得到，进而确立$c_m$和$a_{m,n,\alpha,\beta}$的关系.

计算

对2关于t进行降幂排序得到：

$f(t)=(-\alpha_1+3\alpha_2-3\alpha_3+\alpha_4)t^3+3(\alpha_1-2\alpha_2+\alpha_3)t^2+3(-\alpha_1+\alpha_2)t+\alpha_1$

设：有 $n_b$ 段贝塞尔曲线、 $F(t)$ 的周期为$2π$.
则 $F(t)$ 是一个被分成$n_b$段的分段函数，周期是$2π$.我们将每一段函数分开求$c_m$并加和，即可得到最终数据.
接下来开始正式计算，先计算$a_{m,n,\alpha,\beta}$的迭代公式.

$I_n := a_{m,n,\alpha,\beta}$

经过对上式进行分部积分法可以得到：

$I_n = \frac{i}{2\pi m}e^{-im\beta}-\frac{ni}{(\beta-\alpha)m}I_{n-1},n=1,2,3,4,... 
I_0 = \frac{i}{2\pi m}(e^{-im\beta}-e^{-im\alpha}).$

利用这个迭代式，我们可以求出所有贝塞尔弧段对应的

$a_{m,n,\alpha,\beta} .$

这里我们再设一个数列 $\left\{ w_n \right\}$ 用来存储（$\frac{第n段曲线到第1段曲线的长度的和}{全部曲线长度之和}$）的值，并且令 $w_0=0$ .
把每一小段分开求并加和，可得：

$c_m = \\
\sum_{k=1}^{n_b}[(-\alpha_1+3\alpha_2-3\alpha_3+\alpha_4)a_{m,3,w_{k-1},w_k} \\
+3(\alpha_1-2\alpha_2+\alpha_3)a_{m,2,w_{k-1},w_k} \\
+3(-\alpha_1+\alpha_2)a_{m,1,w_{k-1},w_k} \\
+\alpha_1a_{m,0,w_{k-1},w_k}].$

最后，将获得的复数列 $c_m$转换成二维点列并写入本地即可.

总结

通过上面的计算过程，不难发现，只要能表示成关于时间t的映射 $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}$ ，都可对其进行降幂排序，将 $t^n$ 替换成 $a_{m,n,\alpha,\beta}$ 得到相应的输出数据 $c_m$ .