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想必这是每位概率论的学生都会思考的问题。

经过长期的思考,我有了一个比较能说的通的解释,在这里想分享一下。

问题设定

我们用一个连续概率变量X来表示针会落在的位置。

X的取值范围是[0,1]这个实数区间上。并且X服从[0,1]之间的一致分布。那么从概率测度的角度来看, \mathbb{P}(\{x\})=0。也就是:落在任意一个点的概率都是0。

这个结论是正确的。但为什么一根针仍会落在某个点上?概率是0一定不会发生吗?这是一个很自然的发问。

现实情况

其实上面的结论只是“数学模型”的理想结果。

在数学世界里,它有一个重要的隐含条件:这根针可以无限放大

而我们现实情况是,一根针放大到一定程度的时候,它的尖端就是一颗原子。

所以现实中,如果一根针落在某个“点”上

其实我们是在问: \frac{这根针左边的桌面上的原子数}{[0cm,1cm]这段桌面的原子总数} 。假设[0cm,1cm]之间有10000个“碳原子”。这根针现在落在了4543到4544两个碳原子之间的概率就是 \mathbb{P}\left(\left[\frac{4543}{10000},\frac{4544}{10000}\right)\right)=\frac{1}{10000}

这也是为什么现实中针一定会落在某个点。因为本质上是个离散概率问题。(引用知乎大神梁昊
的话:世界是连续的,测量结果是离散的。)

总结

现实中所有这类测量问题(位置、人的体重、血压、身高)本质上都是离散的。数学中的连续概率模型中,测量某个点的概率虽然数学上是有定义的、但是是没有实际意义的。

换句话说:

如果你发现哪个宇宙它所有的物质都是可以无限放大的(或者物质不是由基本粒子构成的),那么在这个宇宙里,一根针落在[0,1]的0.5的概率就将是0。

       

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